Trajectory Planning without Trajectory Data: A Manifold-Guided Approach

会议: NeurIPS 2026
arXiv: 2610.08863
OpenReview: https://openreview.net/forum?id=cyYEYMIare
代码: https://github.com/SilongYong/Ariadne/
领域: 机器人/具身智能
关键词: 轨迹规划, 流匹配, 流形假设, 常微分方程, 机器人运动规划

一句话总结

针对基于生成模型的轨迹规划高度依赖完整专家轨迹且对未见起终点泛化脆弱的瓶颈，本文提出 Ariadne 框架，仅利用无序的有效状态观测提取状态空间的局部低维流形几何，通过构造兼顾流形约束与端点精度的校正-投影常微分方程（CP-ODE），实现了无需轨迹数据监督的连续轨迹生成与越障规划。

研究背景与动机

基于生成模型的轨迹规划（如 Diffuser 等扩散规划器）近年来取得了长足进展，其核心思路是将轨迹规划转化为序列轨迹空间上的条件采样问题。然而，轨迹空间的维度随着时域长度呈组合爆炸式增长，有限的离线数据集在轨迹层面上极难实现充分覆盖。更严重的是，当在测试时要求模型在训练中未曾共同出现的起终点对（unseen start-goal pairs）之间生成路径时，即使其中的每个局部状态在训练集中均被充分观测，轨迹扩散模型依然会频繁发生分布外（OOD）崩溃，导致生成的轨迹撞上障碍物或偏离目标终点。

这一困境的核心矛盾在于：轨迹层面样本的稀疏与偏差，并不等于有效状态空间本身的稀疏。在机器人运动规划与物理环境中，合法的无碰撞状态通常集中在环境状态空间的一个低维紧致子流形（data manifold）上。采集纯状态点云或静态配置不仅成本低廉且易于获得充分的全局空间覆盖；但过去的方法缺乏利用纯状态几何来动态重构连续连续动力学路径的理论与数值工具，难以跨越“只有静态状态、没有转移轨迹”时的规划鸿沟。

本文的切入角度是：将轨迹规划重新解释为在学习到的状态流形上沿几何向量场积分寻找积分曲线，并通过算子分裂理论将端点约束解析地内嵌到动力系统演化中。核心 idea：仅基于无轨迹/无转移的状态观测训练生成模型，利用流匹配模型的雅可比矩阵特征分解提取流形法空间，并构建“校正-投影常微分方程（CP-ODE）”，通过算子分裂数值迭代生成兼顾严格流形依附与零误差目标终点收敛的可行轨迹。

方法详解

整体框架

Ariadne 框架将轨迹规划过程重构为在状态空间低维流形上求解带边界条件的积分曲线。输入仅为环境的有效状态观测集合以及推理时给定的起始点 \(x_0\) 和目标终点 \(x_1\)，输出为一条连接两点且全程贴合合法流形的光滑状态轨迹。整个框架由三大模块协同组成：首先，基于仅含有效状态的无序数据训练一个流匹配（Flow Matching）生成模型；其次，在任意查询状态处通过流模型雅可比矩阵的特征分解恢复局部法空间基向量并建立黎曼度量；最后，求解融合了参考方向导向、流形切空间投影以及端点残差积分校正的校正-投影常微分方程（CP-ODE），以自适应步长直接积分得到整条免碰撞轨迹。

%%{init: {'flowchart': {'rankSpacing': 24, 'nodeSpacing': 28, 'padding': 6, 'wrappingWidth': 400}}}%%
flowchart TD
    A["输入：起点 x0 与终点 x1<br/>参考速度 Vref = x1 - x0"] --> B["流匹配生成模型几何提取<br/>状态雅可比对称化与特征分解"]
    B --> C["高维流形法空间基向量构建<br/>负曲率本征方向与黎曼距离加权"]
    C --> D["算子分裂求解 CP-ODE<br/>参考位移推进与切空间投影"]
    D --> E["端点残差累积校正项更新<br/>(2 - 4t)φ(x) 消除投影收缩漂移"]
    E --> F["输出：全状态空间免碰撞可行轨迹<br/>无碰撞且严格收敛至目标终点 x1"]

关键设计

1. 基于流匹配雅可比特征分解的通用流形几何提取：解决高余维流形法空间无法通过一阶 Score 恢复的困境

在经典扩散模型引导中，常假设数据流形具有余维为 1（即 \(D-1\) 维超曲面），此时一阶得分函数 \(s(x)=\nabla_x \log p(x)\) 直观指向高密度区，可作为近似法向量。然而真实机器人的可行状态流形通常具有更高的余维数（如 14 自由度双臂的避障流形），单一得分方向无法张成完整法空间。为此，本文深入分析对数密度的二阶 Hessian 矩阵 \(H(x) = \nabla_x^2 \log p(x)\)。在流形加噪声模型假设下，对数密度在流形切空间方向曲率近乎为零，而在法空间方向则具有极强的负曲率。在实践中，针对学习速度场的流匹配网络 \(F(x, t=0.98)\)，利用其对输入的雅可比矩阵进行对称化近似：

\[\frac{\nabla_x S + (\nabla_x S)^T}{2} = Q \Sigma Q^T\]

将对应于显著负特征值（低于法向选择阈值 \(T_{\text{normal}}\)）的特征向量提取出来，结合得分范数导出的黎曼度量 \(G(x) = \frac{\exp(\|s(x)\|)}{Z} I\)，构建出能够完整表征任意高余维几何的局部正交归一化法空间基。

2. 耦合非线性插值的校正-投影常微分方程（CP-ODE）：消除纯局部几何投影导致的端点漂移与停滞

如果仅仅执行“向目标步进一小步后投影回切空间”的简单投影策略，虽然局部更新能压制离开流形的倾向，但切空间投影会不可控地截断和改变朝向目标的位移矢量。累积误差会导致轨迹在接近流形低能区时发生严重尺度收缩甚至完全停滞，根本无法抵达给定的终点 \(x_1\)。为从理论上彻底解决该问题，Ariadne 从非线性端点插值公式 \(x_t = (1-t)x_0 + tx_1 + 2t(1-t)\varphi(x_t)\) 出发对时间求导，推导出了自带端点结构保证的校正-投影微分方程：

\[\frac{dx}{dt} = x_1 - x_0 + (2-4t)\varphi(x_0, x_1, t) + 2t(1-t)\frac{d}{dt}\varphi(x_0, x_1, t)\]

其中 \(2t(1-t)\frac{d}{dt}\varphi(x_t)\) 精确对应于将位移投影消除法向分量的几何操作，而新增的 \((2-4t)\varphi(x_t)\) 则是关键的端点修正项。它以连续积分的形式在积分推进过程中将先前几何投影所剥离的朝向目标的残余分量动态补偿回来，从而使生成的轨迹曲线在数学上天然锚定于 \(x_0\) 和 \(x_1\)。

3. 基于弧长重参数化的算子分裂数值求解算法：保证状态空间轨迹采样的连续性与自适应推进

在数值实现中，方程被巧妙地分解为三个子动力学步骤并采用显式前向欧拉算子分裂格式依次交替求解：第一步沿全局参考速度 \(V_{\text{ref}} = x_1 - x_0\) 推进基础位移得到中间态 \(x_t'\)；第二步基于法空间基向量计算法向位移消除，将状态强行约束在切空间上并累积非线性修正增量 \(d\varphi\)；第三步施加 \((2-4t)\varphi dt\) 补偿项。为避免在流形弯曲剧烈或障碍物密集狭窄区域因固定时间步长 \(\Delta t\) 导致状态跃迁过大跨出流形有效吸引区，算法引入自适应弧长步长控制机制，将时间增量动态设为 \(dt = \frac{C}{\|x - x_p\|}\)（其中 \(C\) 为恒定弧长步长），确保轨迹在状态空间中以均匀物理距离平滑平移，彻底避免了离散穿模与数值振荡。

损失函数 / 训练策略

Ariadne 的生成模型仅采用环境中的有效无碰撞状态样本进行无监督训练，完全不接触任何时间序列轨迹、动作标签或状态转移四元组 \((s, a, r, s')\)。以流匹配架构为例，模型使用基础的均方速度匹配目标优化 MLP 参数 \(\theta\)：

\[\mathcal{L}_{\text{FM}}(\theta) = \mathbb{E}_{t, x_0 \sim p_0, x_1 \sim p_{\text{data}}} \left[ \| v_\theta(x_t, t) - (x_1 - x_0) \|^2 \right]\]

在 2D 迷宫和 6 自由度机械臂场景中采用 4 层隐藏层（隐藏维度 128）的轻量级 MLP，在 14 自由度 DualKUKA 场景中采用 8 层隐藏层（隐藏维度 1024）的 MLP。模型训练显存占用仅约 400MB，在一张单卡 RTX 6000 Ada GPU 上耗时 2 至 12 小时即可收敛。推理时固定采样评估时间步 \(t=0.98\) 来提供稳定的法向梯度估计。

实验关键数据

主实验

论文在经典 2D 迷宫（Maze2D）、YAM 6-DoF 机械臂桌面避障以及极具挑战性的 14-DoF DualKUKA 双臂避障避碰三个基准上进行了系统评测。基线涵盖了经典采样规划器（RRT）、轨迹监督扩散规划器（Diffuser、PBDMP）以及流形几何能量优化方法（Follow-the-Energy）。

在 Maze2D 上，使用标准 D4RL 归一化得分；在 DualKUKA 上，针对不同障碍物数量 \(n\) 和半长 \(s\) 评测一次生成无碰撞并成功到达目标的成功率（%）：

数据集 / 场景	指标	Ariadne (本文, 无轨迹)	Diffuser (全轨迹监督)	Diffuser* (排除目标轨迹)	RRT (经典规划)
Maze2D Medium	D4RL 得分 ↑	55.69	120.52	52.70	45.95
Maze2D Large	D4RL 得分 ↑	50.63	120.37	41.98	10.70
YAM 6D 桌面机械臂	规划成功率 (%) ↑	60.77	-	-	直线基线: 12.31
DualKUKA (\(n=7, s=0.14\))	规划成功率 (%) ↑	57.5	20.5	-	47.0
DualKUKA (\(n=5, s=0.14\))	规划成功率 (%) ↑	50.5	29.0	-	36.5
DualKUKA (\(n=5, s=0.22\))	规划成功率 (%) ↑	52.0	45.5	-	50.5
DualKUKA 平均表现	平均成功率 (%) ↑	53.3	31.7	-	44.7

注：Diffuser* 仅移除了能够抵达测试目标区域的轨迹数据；Ariadne 完全没有轨迹监督，在 DualKUKA 上平均成功率（53.3%）不仅大幅超越轨迹监督的 Diffuser（31.7%）和经典 RRT（44.7%），并能与需要输入环境几何场景参数的 SOTA 规划器 PBDMP*（53.2%）平分秋色。

消融实验与动力学机制检验

论文在简单均匀圆周高斯（UCG）流形上定量验证了 CP-ODE 中“投影项”与“端点校正项”的互补作用（M-Dist. 代表路径偏离真实圆周流形的平均欧氏距离，E-Err. 代表最终点与预定终点的欧氏误差）；并在 DualKUKA (\(n=7, s=0.14\)) 上对超参数进行了系统消融：

配置 / 方法	流形距离偏差 (M-Dist.) ↓	终点误差 (E-Err.) ↓	DualKUKA 规划成功率 (%) ↑
直线参考 (Straight Line)	0.8800	0.0000	23.0
仅投影无校正 (Projection-Only)	0.0322	3.3652	严重停滞 / 无法收敛
Ariadne (完整 CP-ODE)	0.0798	0.3998	57.5
步长 \(\Delta s = 0.01\)	-	-	54.5
步长 \(\Delta s = 0.04\)	-	-	54.0
法向阈值 \(T_{\text{normal}} = -12\)	-	-	49.5
法向阈值 \(T_{\text{normal}} = -35\)	-	-	49.0
投影缩放 \(\epsilon = 0.4\)	-	-	52.0
投影缩放 \(\epsilon = 0.9\)	-	-	50.0

关键发现

• 纯投影机制与端点约束的必然冲突：消融表明，仅采用局部投影（Projection-Only）虽然流形贴合度极佳（M-Dist 达 0.0322），但终点误差暴增到 3.3652，完全失去目标牵引；Ariadne 的端点校正项将终点误差降低了一个数量级（0.3998），同时维持了出色的流形依附。
• 高维规划中的泛化优势：在 DualKUKA 双臂避障任务中，基于模仿轨迹的 Diffuser 极易受限于专家演示中的非最优局部解，在复杂窄道中成功率仅 20.5% 至 45.5%；而 Ariadne 直接从可行状态流形采样，成功率全面突破 50% 并显著超越传统 RRT。
• 极高的在线计算效率：RRT 在 Maze-Large 和 DualKUKA 上需要进行 2 万至 9 万次耗时的在线碰撞检测，规划时间达数秒甚至 25.7 秒；Ariadne 依靠流形梯度直接解析演化，在线碰撞查询次数为 0，规划时间仅为 0.5 毫秒（Maze）至 1.48 秒（DualKUKA）。

亮点与洞察

• 跳出“模仿专家轨迹”的思维定势：指出轨迹分布外泛化失败的根源在于时序组合空间的有限采样偏差，而非状态本身的覆盖不足；用“学习静态可行流形 + 在线微分方程路径积分”替代了昂贵的长序列轨迹微调。
• 二阶曲率法空间提取的数学严谨性：摆脱了以往工作对数据流形必须为一阶超曲面（余维为 1）的严苛假设，利用流匹配模型雅可比的特征分解成功捕获任意高维物理约束的真实多维法空间。
• 可复用的流形插值动力学模版：提出的 CP-ODE 和算子分裂离散解法不仅适用于机械臂运动规划，还可以作为通用的受限连续生成动力学内核，直接拓展至分子构象连续变换、受控图像编辑与连续时间序列生成。

局限与展望

• 局部平滑连通性假设的制约：Ariadne 隐含假设流形上足够接近的有效状态之间存在局部的可行转移。对于具有不可逆动力学、接触间断性或高度依赖控制输入符号的非完整约束系统，纯状态合法性并不能严格保证转移合法性。
• 依赖直线参考路径的拓扑局限：当前实现以起终点之间的欧氏直线作为全局参考驱动速度，在遇到具有大范围凹陷障碍物或复杂环状多连通拓扑环境时，局部法向投影可能发生局部极小陷入，未来需探索基于低维骨架或多模态引导的非线性参考线。
• 雅可比矩阵求导的计算开销：随着系统物理自由度和状态维度的显著增加，在线计算流匹配网络雅可比矩阵及其特征分解的计算耗时将迅速上升，亟待发展针对高维法空间的快速矩阵近似算法。

相关工作与启发

• vs Diffuser / PBDMP: Diffuser 等扩散规划器在整条轨迹序列分布上建立扩散概率模型，极度依赖高质量专家路径演示且在跨起终点时泛化脆弱；Ariadne 完全不使用轨迹数据，仅从单点状态云中提取几何流形，在分布外起终点泛化和样本效率上表现出显著优势。
• vs Follow-the-Energy: Follow-the-Energy 虽然同样从能量模型中提取黎曼度量，但其采用优化整条轨迹插值曲线的离线策略，在狭窄障碍物走廊中极易由于全局平滑性过度约束而偏离可行通道；Ariadne 采用局部的 CP-ODE 前向演化，保留了应对局部尖锐环境约束的适应性。

评分

• 新颖性: ⭐⭐⭐⭐⭐ 颠覆了依赖轨迹序列建模的传统扩散规划范式，提出了纯状态驱动的流形校正-投影常微分方程。
• 实验充分度: ⭐⭐⭐⭐☆ 覆盖了 2D 迷宫、6-DoF 及 14-DoF 双臂机器人仿真，实验深入剖析了法向提取、端点校正和在线计算效率。
• 写作质量: ⭐⭐⭐⭐⭐ 数学推导严谨流畅，动机剖析深刻，算子分裂与几何直觉的结合阐述极为清晰。
• 价值: ⭐⭐⭐⭐☆ 为低成本机器人运动规划、复杂高维避障及无演示学习提供了极具启发性的全新技术路径。

相关论文

• [NeurIPS 2026] OASIS: Observation-Action Space Alignment via SE(3) Trajectory Prediction for Robotic Manipulation
• [CVPR 2026] Scalable Trajectory Generation for Whole-Body Mobile Manipulation
• [ICLR 2026] Autonomous Functional Play with Correspondence-Driven Trajectory Warping
• [ECCV 2026] Trajectory-Level Continuous Action Representation for Robotic Manipulation
• [NeurIPS 2026] Linguistic Trajectory Encoding for Efficient Long-Horizon Spatial Memory in Embodied Agents