Structured Unitary Tensor Network Representations for Circuit-Efficient Quantum Data Encoding¶

会议: NeurIPS 2026
arXiv: 2602.16266
OpenReview: https://openreview.net/forum?id=aFs3FmmvmA
论文: https://arxiv.org/abs/2602.16266
领域: 物理与科学计算
关键词: 量子数据编码, 张量网络, 量化张量列, 块酉变换, 量子机器学习

一句话总结¶

提出基于结构化酉张量网络表示的量子数据编码框架 TNQE，将经典数据解耦为局部张量核并映射为浅层量子线路，不仅支持顺序与无纠缠并行的直接编译，还引入酉感知约束将张量核参数化为可直接优化的可学习块酉算子，在真实量子硬件与高分辨率图像上实现低至振幅编码 0.04 倍深度的保真编码。

研究背景与动机¶

量子机器学习（QML）旨在借助量子叠加与纠缠等物理特性扩展经典计算能力，然而将经典高维数据编码为量子态始终是阻碍其实际落地的核心瓶颈。作为经典信息进入量子系统的门户，量子数据编码方式直接决定了初态结构与后续量子线路的拓扑。现有的编码策略面临两难困境：基础编码需要指数级暴增的物理比特数；振幅编码虽然仅需对数级比特，却依赖全像素空间的大规模全局纠缠，产生极深且易受噪声干扰的量子线路；基于 CNN 的经典-量子混合编码虽能压缩维度，却破坏了输入的全信息表示，且解码依赖预训练经典神经网络，削弱了端到端量子计算的优势。

这种困境的核心矛盾在于：如何在保持输入数据全信息结构与严苛量子比特资源之间取得平衡，同时避免构造因全局纠缠而指数级累积物理噪声的超深线路。张量网络（TN）在经典计算中通过低秩分解紧凑表征高维数据，其数学形式又天然与量子多体态及局部量子算子对应。然而，现有基于张量网络（如传统 MPS）的量子编码方法往往需要对分解后的张量进行事后酉合成（如量子香农分解），编译得到的线路深度依然可观，且缺乏在参数优化阶段直接融入量子酉性约束的机制。

本文的切入角度是：将数据编码显式解耦为结构化张量分解与局部核编译，并在经典优化阶段直接施加量子酉性几何先验。核心 idea：提出基于结构化酉张量网络表示的量子数据编码框架 TNQE，通过量化张量列将图像映射为与物理比特自然对齐的局部张量核，不仅设计了顺序全张量编译与无跨核纠缠的并行局部编码，更首创酉感知优化范式，将张量核直接参数化为硬件高效的可学习块酉线路并在经典端优化，无需事后门合成即可直接落盘为超浅层可执行量子线路。

方法详解¶

整体框架¶

TNQE 的核心流水线分为两个阶段：经典多尺度张量分解与量子线路编译。对于分辨率为 $s \times s$（其中 $s = 2^L$）的经典图像输入，首先采用量化张量列（Quantized Tensor Train, QTT）通过模式量化进行二进分解与跨维度层次化重组，将二维图像转化为 $L$ 个局部张量核构成的张量网络。随后，TNQE 提供三种互补的量子线路实现路径： 1. TNQE-full：将全局 MPS 变换为右正则形式（Right-Canonical Form），推导出等距映射（Isometry）并通过正交完备化扩展为局部酉算子，最终串行编译为含辅助键比特的顺序执行量子线路； 2. TNQE-core：将各张量核视为独立向量并在不相交的量子寄存器上做局部振幅编码，完全消除跨核纠缠门，实现深度极浅且天然并行的模块化线路； 3. TNQE-unitary（核心创新）：直接放弃事后酉合成，将每个 QTT 张量核在经典优化阶段参数化为多层硬件高效型可学习块酉算子，以经典张量缩并驱动玻恩概率与目标图像的 KL 散度优化，训练完成后参数无需二次变换直接生成超浅层量子门序列。

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flowchart TD
    A["经典高维图像输入<br/>s × s, s = 2^L"] --> B["模式量化与分层重组<br/>2L维超立方体QTT分解"]
    B --> C{"编码策略路径选择"}
    C -->|传统SVD与事后合成| D["1. 右正则等距分解与正交补全<br/>SVD提取等距映射并Gram-Schmidt完备"]
    C -->|解耦无纠缠并行| E["2. 局部张量核独立寄存器编码<br/>单核局部振幅编码，无跨核门"]
    C -->|酉感知前向参数化| F["3. 酉感知可学习块算子参数化<br/>RY-RZ单比特旋转 + 硬件高效CNOT"]
    D --> G["顺序执行全局纠缠线路<br/>QSD门合成，深度O(4 r^2 log s)"]
    E --> H["高并行度极浅层线路<br/>分立子线路，深度O(4 r^2)"]
    F --> I["端到端可执行超浅线路<br/>免事后门合成，深度O(N_l log s)"]

关键设计¶

1. 右正则等距分解与正交补全：从经典张量核保范数构造顺序量子算子
传统张量网络分解得到的张量核通常不满足量子算子的酉性要求，直接编译会导致非物理态或严重的范数漂移。针对这一问题，TNQE-full 引入从右向左的 SVD 扫描机制，将 MPS 张量核逐步变换为严格满足右等距条件的矩阵 $\mathbf{A}^{(k)}(\mathbf{A}^{(k)})^\dagger = I_{r_{k-1}}$，并将非等距因式依次吸收至左侧邻近张量中，使得全局态的范数完全由首个张量决定。为在固定的希尔伯特空间中物理执行，进一步将等距矩阵 $V^{(k)} \in \mathbb{C}^{m \times n}$（其中 $m = d \cdot r_k, n = r_{k-1}$）通过 Gram-Schmidt 正交化补全正交子空间 $W^{(k)} \in \mathbb{C}^{m \times (m-n)}$，拼接构造出严格的局域酉算子： $$U^{(k)} = \begin{bmatrix} V^{(k)} & W^{(k)} \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{m \times m}$$ 该设计保证了在初态输入固定为 $|0\rangle^{\otimes n}$ 时，前 $n$ 列的映射行为严格等价于原张量核，实现了经典张量到量子保模操作的确定性转换。

2. 局部张量核独立寄存器编码：消除全局纠缠瓶颈的超低深度并行化解耦
在含噪声量子硬件上，跨多比特的长程全局纠缠是引发退相干与误差指数级累积的主要根源。TNQE-core 改变了“制备单一全局量子纠缠态”的传统思路，将每个张量核 $\mathcal{A}^{(k)}$ 展平为长度为 $4 r_{k-1} r_k$ 的局部向量，在向右零填充至 2 的整数幂 $N_k$ 并归一化后，分配给互相独立的局部量子比特寄存器进行振幅编码： $$|\Psi\rangle = \bigotimes_{k=1}^L |\psi_k\rangle, \quad |\psi_k\rangle = \frac{\mathbf{v}^{(k)}}{\|\mathbf{v}^{(k)}\|_2}$$ 各子线路之间没有任何受控非门或跨核纠缠，各寄存器可由量子处理器完全并行构建与测量，整机电路深度仅由单个子线路的最大深度界定（$O(4 r^2)$），彻底摆脱了随图像像素维度指数膨胀的限制。

3. 酉感知可学习块算子参数化：免门合成的端到端直接量子编译
尽管通过正交补全可以构造酉算子，但通过量子香农分解（QSD）将大矩阵递归合成为基础单两比特门时仍会生成极深的门序列。TNQE-unitary 提出一种全新的“参数即门”设计，预先构建由单比特旋转和固定 CNOT 纠缠层堆叠而成的硬件高效可微线路： $$U^{(k)}(\theta^{(k)}) = \prod_{\ell=1}^{N_\ell} \left( U_e \cdot \bigotimes_{q=0}^{N_b+1} R_Z(\beta_{\ell,q}^{(k)}) R_Y(\alpha_{\ell,q}^{(k)}) \right)$$ 其中 $U_e$ 包含键-键、键-物理以及物理-物理的三向拓扑 CNOT 门。由于单比特任意酉变换可由 $R_Y$ 与 $R_Z$ 完全表达，省略 $R_X$ 能够有效避免参数冗余。在经典端，算法仅截取该块酉算子的前 $n$ 列作为等距张量核参与 QTT 经典收缩，从而在经典优化循环中隐式且严格地保证了各张量核的酉性。模型收敛后，学习到的参数 $\Theta$ 无需任何二次门分解，即可直接作为量子硬件原生旋转门的控制角，实现了物理可执行线路的零损耗直出。

损失函数 / 训练策略¶

对于 TNQE-full 和 TNQE-core 中的经典 QTT 分解，采用 Adam 优化器，学习率设为 0.01，在均方误差（MSE）损失下迭代优化 2000 个 epoch。

对于 TNQE-unitary，采用 Born 概率解释与概率约定（$|X_{ij}| \propto \sqrt{Y_{ij}}$），使得图像可以直接从量子测量的频次计数中恢复，无需重建相位。网络在经典端通过最小化归一化目标图像分布 $p_Y$ 与收缩重构张量诱导的 Born 概率分布 $p_X(\cdot; \Theta)$ 之间的 Kullback-Leibler (KL) 散度进行优化： $$\mathcal{L}_{\mathrm{KL}}(\Theta) = \sum_{i,j} p_Y(i,j) \left[ \log p_Y(i,j) - \log p_X(i,j; \Theta) \right]$$ 其中 $p_X(i,j; \Theta) = |X_{ij}(\Theta)|^2 / \sum_{i',j'} |X_{i'j'}(\Theta)|^2$。训练过程采用 AdamW 优化器，最大学习率设为 0.03，权重衰减为 $10^{-4}$，配合 OneCycle 学习率调度策略迭代 1000 个 epoch。全过程仅在经典张量空间进行梯度反向传播，不进行含噪的量子线路打靶模拟，从原理上规避了变分量子算法中常见的贫瘠高原（Barren Plateau）问题。

实验关键数据¶

主实验¶

在 MNIST（$32 \times 32$ 零填充）基准上，比较了经典振幅编码、自动编码（AQCE）与 TNQE 三种变体的量子资源开销（表 1）以及图像近似质量与分类保持率（表 2）。

编码方法	比特数 (Qubits)	线路深度 (Depth)	局域酉矩阵数	CNOT 门数	总量子操作数
振幅编码 (Baseline)	10	2028	1023	1013	2036
自动编码 (AQCE)	10	208	371	129	500
TNQE-full ($r=4$)	12	945	900	475	1375
TNQE-core ($r=4$)	26	116	219	193	412
TNQE-unitary ($r=8, N_\ell=4$)	13	81	100	120	220

在图像重构质量与语义下游分类准确率对比中：

编码方法	重构 MSE ↓	重构 BCE ↓	PSNR (dB) ↑	SSIM ↑	CNN 准确率 (%) ↑	MLP 准确率 (%) ↑
振幅编码 (仿真无噪)	0.0000	0.0000	$\infty$	1.0000	98.90	97.90
自动编码 (AQCE)	0.0157	0.1475	18.37	0.8825	98.05	93.30
TNQE-full	0.0157	0.1296	18.68	0.9070	98.22	94.48
TNQE-core	0.0156	0.1293	18.69	0.9072	98.23	94.53
TNQE-unitary	0.0112	0.0923	20.58	0.9159	98.70	97.60

在真实 IBM 量子硬件（Heron 架构）上，深度巨大的振幅编码因噪声累积导致状态完全失真（信噪比崩塌），而 TNQE-core 在 50,000 次测量采样下展现出极高的抗噪与语义保留能力：

量子芯片 (QPU)	振幅编码 CNN (%)	自动编码 CNN (%)	TNQE (Ours) CNN (%)	振幅编码 SSIM	TNQE (Ours) SSIM
`ibm_torino` (Heron r1)	13.0	81.0	91.0	0.0084	0.7357
`ibm_fez` (Heron r2)	13.0	78.0	95.0	0.0003	0.7737
`ibm_boston` (Heron r3)	10.0	87.0	95.0	0.0225	0.7894

消融实验¶

针对张量网络关键超参数（键秩 $r$ 与块酉层数 $N_\ell$）进行消融评估，验证资源-保真度权衡：

配置项	变量取值	线路结构 (比特, 深度)	MSE ↓	PSNR (dB) ↑	SSIM ↑	核心观察与机制说明
TNQE-unitary 秩消融	$r=1$	(10, 8)	0.1626	8.21	0.1847	秩过小导致张量网络纠缠表达能力受限
($N_\ell=4$ 固定)	$r=2$	(11, 56)	0.0450	13.78	0.6738	引入 1 个辅助比特，图像基本轮廓恢复
	$r=4$	(12, 61)	0.0184	18.03	0.8559	快速逼近高质量重构阈值
	$r=8$ (默认)	(13, 81)	0.0112	20.58	0.9159	深度仅 81 即可达到优异重构与分类指标
	$r=16$	(14, 82)	0.0083	21.85	0.9395	深度仅增至 82，保真度进一步边际提升
TNQE-unitary 层数消融	$N_\ell=1$	(13, 21)	0.0450	13.62	0.6942	超极浅线路仍能保留部分数字拓扑
($r=8$ 固定)	$N_\ell=2$	(13, 41)	0.0216	17.26	0.8405	深度 41 时 SSIM 达到 0.84
	$N_\ell=4$ (默认)	(13, 81)	0.0112	20.58	0.9159	综合性价比最佳的工作点
	$N_\ell=10$	(13, 201)	0.0026	27.82	0.9811	逼近精确重构，深度仅为振幅编码的 1/10
	$N_\ell=20$	(13, 401)	0.0005	38.86	0.9966	极高保真度，MSE 下降至万分之五

关键发现¶

线路深度断崖式下降：在达到相同或更优的 MNIST 重构与分类精度下，TNQE-unitary 的线路深度（81）仅为传统振幅编码（2028）的 0.04 倍（节省约 96% 深度），总量子操作数从 2036 骤降至 220。
抗硬件噪声断层领先：真实量子处理器上，传统振幅编码的分类结果完全退化为随机猜测（准确率 10%~13%），而 TNQE-core 在不依赖任何量子纠错与误差缓解（Error Mitigation）技术的前提下，依然斩获高达 95.0% 的真实硬件分类准确率，印证了“浅层局部线路”相比“全局纠缠深层线路”的压倒性物理可行性。
可拓展性突破高分辨率瓶颈：随着分辨率从 $4 \times 4$ 扩展至 $512 \times 512$，振幅编码操作数呈指数爆炸，而 TNQE-unitary 的线路深度与量子比特数仅随 $\log s$ 极其平缓地对数增长，成功在仿真中实现了 $256 \times 256$ 灰度及高分辨率彩色图像的完整量子编码。

亮点与洞察¶

经典张量先验与量子算子原生闭环：巧妙利用 QTT 模式量化的二进几何结构天然对应量子比特寄存器的性质，避免了常规矩阵扁平化带来的空间拓扑撕裂。
免二次合成的“参数即门”编译哲学：将可微酉矩阵参数化（$R_Y$-$R_Z$-CNOT）直接嵌入张量核的优化回路中，彻底摆脱了传统量子计算中先数学优化、再求高开销量子香农分解（QSD）的断裂流程。
经典端全局张量缩并避开贫瘠高原：不同于变分量子本征求解（VQE）等依赖含噪声打靶测量的梯度估计，TNQE-unitary 属于在经典计算机上对预定义量子线路结构做无噪张量缩并，优化收敛稳定且方差极小。

局限与展望¶

依赖经典数据的可压缩性：TNQE 的低深度优势本质上建立在输入数据能够被低秩 QTT 有效逼近的前提上。在作者的极端压力测试中，对于不可压缩的高频均匀高斯随机噪声，张量秩与重构误差会出现平台滞留。
理论收敛性与几何流形理论待补全：TNQE-unitary 在紧致李群 $U(N)$ 约束下的优化曲面与非凸局部极值分布尚缺乏严格的理论动力学证明。
未来方向：结合硬件拓扑自适应的量子编译路由、引入噪声感知损失函数微调，以及探索在量子强化学习和量子生成模型（QGAN）中的初态制备扩展。

评分¶

新颖性: ⭐⭐⭐⭐⭐ [首创将酉约束直接参数化进张量核优化循环并无缝直出硬件量子线路的统一框架]
实验充分度: ⭐⭐⭐⭐⭐ [涵盖仿真、超高分辨率、真实 IBM 三代量子芯片实测以及详尽的消融与鲁棒性统计]
写作质量: ⭐⭐⭐⭐⭐ [逻辑严密、数学推导连贯、图表详实且对硬件物理噪声退化的分析深刻客观]
价值: ⭐⭐⭐⭐⭐ [直击量子机器学习最核心的数据编码瓶颈，为近近期量子计算处理真实高维数据提供了真正可落地的技术范式]

配置项	变量取值	线路结构 (比特, 深度)	MSE ↓	PSNR (dB) ↑	SSIM ↑	核心观察与机制说明
TNQE-unitary 秩消融	\(r=1\)	(10, 8)	0.1626	8.21	0.1847	秩过小导致张量网络纠缠表达能力受限
(\(N_\ell=4\) 固定)	\(r=2\)	(11, 56)	0.0450	13.78	0.6738	引入 1 个辅助比特，图像基本轮廓恢复
	\(r=4\)	(12, 61)	0.0184	18.03	0.8559	快速逼近高质量重构阈值
	\(r=8\) (默认)	(13, 81)	0.0112	20.58	0.9159	深度仅 81 即可达到优异重构与分类指标
	\(r=16\)	(14, 82)	0.0083	21.85	0.9395	深度仅增至 82，保真度进一步边际提升
TNQE-unitary 层数消融	\(N_\ell=1\)	(13, 21)	0.0450	13.62	0.6942	超极浅线路仍能保留部分数字拓扑
(\(r=8\) 固定)	\(N_\ell=2\)	(13, 41)	0.0216	17.26	0.8405	深度 41 时 SSIM 达到 0.84
	\(N_\ell=4\) (默认)	(13, 81)	0.0112	20.58	0.9159	综合性价比最佳的工作点
	\(N_\ell=10\)	(13, 201)	0.0026	27.82	0.9811	逼近精确重构，深度仅为振幅编码的 1/10
	\(N_\ell=20\)	(13, 401)	0.0005	38.86	0.9966	极高保真度，MSE 下降至万分之五