Concept Modulation Models: A Unified Framework for Identifiability and Extrapolation¶

会议: NeurIPS 2026
arXiv: 2606.18509
OpenReview: https://openreview.net/forum?id=KanpVVPIzD
论文: https://arxiv.org/abs/2606.18509
领域: 优化/理论
关键词: 概念调制模型, 可辨识性, 分布外推, 属性势函数, 因果表示学习

一句话总结¶

本文提出概念调制模型（CMMs）统一框架，将非线性ICA、因果表示学习与扰动外推的生成结构抽象为属性到调制器、概念再到观测特征的马尔可夫链，揭示了观测特征等价性在潜空间诱导的转换必须保持属性势函数，从而为可辨识性与外推泛化提供了统一的代数判别准则与证明工具。

研究背景与动机¶

条件隐变量生成模型与表示学习的核心目标不仅在于拟合观测分布，更在于从有限的观测条件中可靠地泛化到未见条件。然而，经验风险最小化与标准的分布拟合存在内在的欠定性：两个在所有训练属性下完全重合的模型，在未见属性或反事实分布上完全可能给出大相径庭的预测。为了使跨环境预测具有理论保障，社区发展了以可辨识性（identifiability）为核心的研究路线——若潜在的数据生成机制与潜变量结构能够被观测变异唯一锁定（直至可接受的对称性歧义），模型在分布外外推（extrapolation）时的行为便获得了坚实的结构支撑。

然而，现有关于隐变量可辨识性与外推性的理论几乎完全是割裂且高度模型特异化的。非线性独立成分分析（Nonlinear ICA）与可辨识变分自编码器（iVAE）依赖辅助变量调制下的条件独立先验与充分变异性秩条件；因果表示学习（CRL）聚焦于利用环境标签、硬/软干预或者得分函数反推潜因果图与局部机制；扰动模型（Perturbation Modeling）则针对特定均值位移结构分析线性响应。尽管这些分支共享了“利用多环境/多属性间的结构化变异识别潜在表征”的朴素直觉，但由于各自采用相异的数学表述与刚性证明技巧，整个领域长期缺乏一个能统一解释“特征分布等价何时能提升为潜空间变换、潜空间变换何时能外推到未见属性”的通用理论框架。

本文敏锐地捕捉到了各类条件生成模型底层的共性代数对象，提出从基于转换（transition-based）的几何视角来统一条件生成流。核心 idea：建立统一的条件生成结构 $A \to \Lambda \to C \to X$（CMM），证明观测特征等价性直接诱导了保属性势函数（attribute potential，即跨属性对数密度比）的潜概念转换，并将外推充分必要条件严格等价于该代数势函数恒等式在未见属性上的代数延拓。

方法详解¶

整体框架¶

概念调制模型（CMM）将条件生成过程显式解耦为三级级联马尔可夫链：观测属性 $A \in \mathcal{A}$（如环境索引、干预节点、扰动标签或上下文输入）首先经由索引核（indexing kernel）$\mathbf{Q}$ 映射为调制器 $\Lambda \in \mathscr{L}$；调制器通过全类共享的概念调制核（concept modulation kernel）$\mathbf{B}$ 指定潜概念 $C \in \mathcal{C}$ 上的条件概率测度；最后由混合核（mixing kernel）$\mathbf{K}$ 将潜概念投射到观测特征空间 $X \in \mathcal{X}$。整个生成分布由复合算子 $\mathbf{P}^\mathsf{M} := \mathbf{K}\mathbf{B}\mathbf{Q}$ 确定。

在模型比较中，同一 CMM 类 $\mathcal{M} = \mathcal{Q} \times \{\mathbf{B}\} \times \mathcal{K}$ 强制固定共享的物理机制 $\mathbf{B}$，仅允许索引核 $\mathbf{Q} \in \mathcal{Q}$ 与混合核 $\mathbf{K} \in \mathcal{K}$ 自由变化。当两个候选模型 $\mathsf{M}=(\mathbf{Q},\mathbf{B},\mathbf{K})$ 与 $\mathsf{M}'=(\mathbf{Q}',\mathbf{B},\mathbf{K}')$ 在有限观测属性集 $\mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 上满足特征分布等价（即 $\mathbf{P}^\mathsf{M}_{\mathcal{A}_{\textnormal{o}}} = \mathbf{P}^{\mathsf{M}'}_{\mathcal{A}_{\textnormal{o}}}$）时，CMM 理论通过混合侧与概念侧的相容性约束，推导出作用于概念空间的一致转换算子 $\tau \in \mathrm{Aut}_\nu(\mathcal{C})$。该转换算子在混合侧吸收编码器/解码器歧义，在概念侧同时运送全部观测属性下的条件概念律。

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flowchart TD
    A["观测属性空间 A<br/>环境/干预/扰动标签集合"] --> B["条件索引机制与共享调制核<br/>Q 将 A 映射为调制器 Λ，B 诱导概念分布 BQ"]
    B --> C["条件转换相容性判定<br/>特征等价诱导潜概念自构 τ 属于混合与概念转换交集"]
    C --> D["属性势函数代数守恒检验<br/>对数密度比 Δ 抵消基线密度，建立保势恒等式"]
    D --> E["仿射闭包外推延拓判定<br/>φ(A_ex) 落入 φ(A_o) 仿射包，保证未见属性精确外推"]
    E --> F["观测特征空间 X<br/>全属性条件生成分布 P(X|A)"]

关键设计¶

1. 条件转换相容性判定：将观测分布等价性提升为跨属性共享的潜空间转换

非条件隐变量模型的可辨识性理论通常仅针对单一潜分布，无法处理属性索引带来的多环境分布簇。针对多分布对齐的难题，CMM 建立了条件转换提升理论。首先要求混合核类 $\mathcal{K}$ 具备 $\nu$-Blackwell 可约性（Blackwell reducible）：存在公共核 $\widetilde{\mathbf{K}}$ 与双可测单射嵌入族 $\mathcal{G}$，使得任意混合核均可分解为 $\mathbf{K} \overset{\nu}{=} \widetilde{\mathbf{K}}\mathbf{T}_g$ 且 $\widetilde{\mathbf{K}}$ 在前推测度族上单射。当两个模型在观测属性子集 $\mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 上产生完全相同的特征法则 $\mathbf{K}\mathbf{B}\mathbf{Q}(\cdot \mid a) = \mathbf{K}'\mathbf{B}\mathbf{Q}'(\cdot \mid a)$ 时，由于 $\widetilde{\mathbf{K}}$ 的单射性，特征层面的匹配立即提升至潜概念的前推测度层面：$\mathbf{T}_g \mu_a = \mathbf{T}_{g'} \mu'_a$。

进而定义潜概念转换 $\tau := g^{-1} \circ g' \in \mathrm{Aut}_\nu(\mathcal{C})$。有效的潜转换必须同时被混合侧与概念侧的模型类吸收：在混合侧属于有效混合转换集 $\mathcal{T}_{\mathbf{K}}^\nu(\mathcal{K}) := \{\tau \mid \exists \mathbf{K}' \in \mathcal{K}, \mathbf{K}' \overset{\nu}{=} \mathbf{K}\mathbf{T}_\tau\}$；在概念侧属于有效概念转换集 $\mathcal{T}_{\bar{\mathbf{Q}}}^\nu(\bar{\mathcal{Q}}; \mathcal{A}_{\textnormal{o}}) := \{\tau \mid \exists \bar{\mathbf{Q}}' \in \bar{\mathcal{Q}}, \bar{\mathbf{Q}}(\cdot \mid a) = \mathbf{T}_\tau \bar{\mathbf{Q}}'(\cdot \mid a), \forall a \in \mathcal{A}_{\textnormal{o}}\}$。定理1（CMM-lift 定理）证明：两个模型特征等价的充要条件是在交集中存在相容转换： $$\tau \in \mathcal{T}_{\mathbf{K}}^\nu(\mathcal{K}) \cap \mathcal{T}_{\bar{\mathbf{Q}}}^\nu(\bar{\mathcal{Q}}; \mathcal{A}_{\textnormal{o}})$$ 只要该交集被包含在目标歧义群 $\mathfrak{G}$ 之内，模型即在 $\mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 上实现模 $\mathfrak{G}$ 的 Blackwell 等价性（可辨识性）。

2. 属性势函数代数守恒检验：消去繁复积分项与基测度畸变的密度比表征

在潜变量模型分析中，前推测度算子 $\mathbf{T}_\tau$ 的密度转换公式必然引入 Radon-Nikodym 导数（即雅可比行列式修正项 $r_{\tau^{-1}}(c) := d(\mathbf{T}_{\tau^{-1}}\nu)/d\nu(c)$），这在非线性与非参数情形下极其繁琐难以化简。为此，本文设计了属性势函数（attribute potential）作为对数密度比对照算子：以任意参考属性 $a_0 \in \mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 为基准针（anchor），定义 $$\Delta_{a,a_0}^{\bar{\mathbf{Q}}}(c) := \log p_{\bar{\mathbf{Q}}}(c \mid a) - \log p_{\bar{\mathbf{Q}}}(c \mid a_0)$$ 属性势函数通过相对差分，精准剥离了潜先验中与属性无关的基测度项、未归一化因子及潜在的共享扰动，仅单独保留属性 $A=a$ 施加于概念空间上的特异性对比调制。

定理2证明，潜转换 $\tau$ 在概念侧有效（即 $\bar{\mathbf{Q}}(\cdot \mid a) = \mathbf{T}_\tau \bar{\mathbf{Q}}'(\cdot \mid a), \forall a \in \mathcal{A}_{\textnormal{o}}$）等价于：在基准针 $a_0$ 处满足基准密度等式 $p_{\bar{\mathbf{Q}}'}(c \mid a_0) = p_{\bar{\mathbf{Q}}}(\tau(c) \mid a_0) r_{\tau^{-1}}(c)$，并且对所有观测属性 $a \in \mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 严格恒等保持属性势函数： $$\Delta_{a,a_0}^{\bar{\mathbf{Q}}'}(c) = \Delta_{a,a_0}^{\bar{\mathbf{Q}}}(\tau(c)) \quad \nu\text{-a.e. } c$$ 该代数恒等式完全摆脱了棘手的雅可比测度形变项 $r_{\tau^{-1}}$，将高深的测度论条件完全还原为易于微分、展开与代数消元的势能守恒方程。

3. 仿射闭包外推延拓判定：由局部势函数线性结构决定全局分布外推能力

外推性研究的核心矛盾在于：观测特征等价性仅对 $a \in \mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 施加约束，当面临未见属性 $a_{\textnormal{ex}} \notin \mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 时，无约束的索引核完全可以任意取值导致特征分布失配。定理3给出了外推性的精确充要判据：对于观测等价诱导的转换 $\tau$，在未见属性集 $\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}$ 上的预测一致性 $\mathbf{P}_{\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}}^\mathsf{M} = \mathbf{P}_{\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}}^{\mathsf{M}'}$ 等价于属性势函数恒等式能否无缝延拓至 $\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}$： $$\Delta_{a,a_0}^{\bar{\mathbf{Q}}'}(c) = \Delta_{a,a_0}^{\bar{\mathbf{Q}}}(\tau(c)), \quad \forall a \in \mathcal{A}_{\textnormal{ex}}, \quad \nu\text{-a.e. } c$$

为给出可判定的代数充要条件，定理4提出了基于中心化属性势函数（centered attribute potential）的仿射延拓准则。假设存在固定的属性表征映射 $\varphi: \mathcal{A} \to \mathbb{R}^m$，使得中心化势函数满足双线性分解： $$\Delta_{a,a_0}^{\bar{\mathbf{Q}}}(c) - \Delta_{a,a_0}^{\bar{\mathbf{Q}}}(c_0) = \langle \varphi(a) - \varphi(a_0), D^{\bar{\mathbf{Q}}}(c,c_0) \rangle$$ 若未见属性的表征 $\varphi(\mathcal{A}_{\textnormal{ex}})$ 落在观测属性表征的仿射包之内（$\varphi(\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}) \subseteq \mathrm{aff}(\varphi(\mathcal{A}_{\textnormal{o}}))$），即 $\varphi(a_{\textnormal{ex}}) = \sum_i \alpha_i \varphi(a_i)$ 且 $\sum_i \alpha_i = 1$（其中 $a_i \in \mathcal{A}_{\textnormal{o}}$），则由于势函数对属性表征的线性依赖，观测属性上的势函数守恒式将自动强迫未见属性上的势函数成立。配合全局概率测度的归一化约束，常数偏差项被精确消除为零，从而从数学上直接证明了特征分布在全外推集 $\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}$ 上的严格一致性。

损失函数 / 训练策略¶

作为纯理论框架，本文不提出具体的经验损失反向传播算法，而是建立了统一的潜变量代数分析框架。其对经验训练算法的指导原则可形式化为：在构建条件生成模型时，应针对观测属性间预设的结构对称性或物理调制规律（如加性干预、布尔组合或低秩因子分解），设计受限的潜概念调制核 $\mathbf{B}$ 与参数化索引映射 $\mathbf{Q}_\theta$，并通过对比对数似然或基于得分匹配的目标函数约束势函数差分。当且仅当属性调制张成的张成空间覆盖目标外推空间时，经验极小点在未见分布上的泛化误差才具备一致性理论保证。

实验关键数据¶

主实验：理论覆盖广度与代表性模型严格归纳对照¶

本文的主体实验由严格的数学还原与覆盖范围验证构成。CMM 框架不仅统一了已有独立文献中的可辨识性定理，而且精确指出各自在 CMM 算子级字典下的具体代数对应物。

模型设置 / 经典文献	属性 $A$ 与调制器 $\Lambda$	潜概念调制核 $\mathbf{B}(dc \mid \lambda)$	CMM 属性势函数 $\Delta_{a,a_0}(c)$	还原的证明对象与最终可辨识性结论
Nonlinear ICA (Hyvarinen et al., 2019)	辅助变量 $u$ $\lambda_a = (q_i(\cdot, u))_{i=1}^k$	$\exp\{\sum_i \lambda_i(c_i) - \Gamma(\lambda)\}dc$	$\sum_i [q_i(c_i, a) - q_i(c_i, a_0)] - [\Gamma(a) - \Gamma(a_0)]$	混合二阶偏导数系统 $\partial_{c_j c_{j'}}^2 \Delta = 0$ $\implies$ 置换与逐分量变换
iVAE (Khemakhem et al., 2020a)	条件变量 $u$ $\lambda_a = (f(u), T, Q)$	$\frac{Q(c)}{Z(\lambda)}\exp\{\langle \lambda, T(c)\rangle\}dc$	$\langle f(a) - f(a_0), T(c)\rangle - \log \frac{Z(a)}{Z(a_0)}$	充分统计量仿射方程 $T(\tau(c)) = M T'(c) + b$ $\implies$ 仿射/分量可辨识性
Linear CRL (Squires et al., 2023)	单节点完美干预标签 $k$ 结构矩阵行向量 $B_k$	$\mathrm{Law}(B_k^{-1} \epsilon)(dc)$	基于二阶矩协方差算子建立矩阵方程	伪精度阵 $\Theta_k = H^\top B_k^\top B_k H$ $\implies$ 因果拓扑偏序图匹配
Gaussian CRL (Buchholz et al., 2023)	干预环境 $i \in I \cup \{0\}$ $\lambda_i = (B^{(i)}, \eta^{(i)}, t_i)$	高斯分布 $\mathcal{N}((B^{(i)})^{-1}\eta^{(i)}e_{t_i}, (B^{(i)})^{-1}(B^{(i)})^{-\top})$	$-\frac{1}{2}c^\top(\Theta^{(i)} - \Theta^{(0)})c + \eta^{(i)}(r^{(i)})^\top c + \kappa^{(i)}$	二次型转移等式 $\implies$ 线性矩阵转换与图置换
Score-based CRL (Varıcı et al., 2025)	多环境干预 $a \in \mathcal{E}$ 局部机制族 $(p_i^{\lambda_a})$	$\prod_{i=1}^n p_i^{\lambda_a}(c_i \mid c_{\mathrm{pa}(i)})dc$	$\sum_{i=1}^n [\log p_i^a - \log p_i^0]$	梯度得分对照差分 $\nabla_c \Delta_{a_i, \tilde{a}_i}$ 呈单稀疏性 $\implies$ 局部因果图同构
Nonparametric CRL (von Kügelgen et al., 2023)	配对完美干预 $e \in \mathcal{E}$ 局部非参数条件机制	$\prod_{j=1}^n p_j^{\lambda_e}(c_j \mid c_{\mathrm{pa}(j)})dc$	机制密度比 $R_{e,e'} = \exp\{\Delta_{e,e'}\} = \rho_i^{e,e'}(c_i)$	一维密度比方程 $\rho'_{\pi(i)}(z_{\pi(i)}) = \rho_i(\tau_i(z))$ $\implies$ 逐分量微分同胚匹配
Perturbation Model (von Kügelgen et al., 2025)	扰动向量 $a \in \mathbb{R}^K$ 潜均值位移 $W(a - a_0)$	各向同性高斯 $\mathcal{N}(\lambda, I_k)(dc)$	$\langle a - a_0, W^\top(c - c_0)\rangle$ (中心化势函数)	正交刚性旋转与均值位移延拓 $\implies$ 正交等价及向外推空间延拓

消融实验：组合干预与外推代数边界分析¶

在结构化属性空间的外推理论中，推论1探讨了布尔子集交互空间 $\mathcal{A} = 2^{[m]}$ 的组合外推边界，展示了观测属性集 $\mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 的代数封闭性如何决定可外推范围 $\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}$：

属性空间结构假设	观测属性集 $\mathcal{A}_{\textnormal{o}}$ 设定	潜密度相互作用阶数假设	可外推属性集合 $\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}$	理论保障与失配说明
完全向下闭合族 (Downward-closed family $\mathcal{H}$)	包含 $\varnothing$ 且满足下闭性质的有限子集族 $\mathcal{H}$	任意局限于 $\mathcal{H}$ 内的相互作用：$p(c \mid S) \propto \exp\{\sum_{T \in \mathcal{H}, T \subseteq S} h_T(c)\}$	全幂集 $2^{[m]}$ (包含全部未见超高阶多节点组合干预)	完全外推成立：利用偏序集的 Möbius 反演，$\varphi_\mathcal{H}(S)$ 必在 $\varphi_\mathcal{H}(\mathcal{H})$ 仿射包内
秩亏缺观测属性集 ($\mathrm{span}\{f(a)-f(a_0)\} = V \subsetneq \mathbb{R}^k$)	仅观测到张成真子空间 $V$ 的有限属性集合	指数族线性调制 $f(a) = W_f \varphi(a)$	仅限于 $\varphi(a_{\textnormal{ex}}) - \varphi(a_0) \in V$ 的受限子空间	部分可辨识与有界外推：仅在子空间内保持仿射辨识性，超出张成空间的外推出现欠定任意性
非约束非参数索引映射 (任意无约束映射 $f: \mathcal{A} \to \mathbb{R}^k$)	任意密集观测集 $\mathcal{A}_{\textnormal{o}} \subset \mathcal{A}$	无全局参数约束的指数族条件先验	仅退化为原观测集 $\mathcal{A}_{\textnormal{o}}$，外推集为空	外推完全失效：未见属性处的 $f(a_{\textnormal{ex}})$ 可任意取值而不影响已观测条件分布

关键发现¶

统一证明杠杆：此前各类代表性工作使用的矩阵二阶矩方程（Squires et al., 2023）、二次型位移匹配（Buchholz et al., 2023）、一维密度比分解（von Kügelgen et al., 2023）与得分向量一稀疏性（Varıcı et al., 2025），本质上全部是 CMM 属性势函数在对应概率拓扑与微分条件下的具体特例。
解耦核心机制与刚性论证：CMM 成功将可辨识性论证解耦为两步：第一步是由 Blackwell 可约性与特征等价性直接给出的“通用转换提升与势函数守恒”，第二步是特定模型利用自身矩阵秩、微分同胚或独立性展开的“模型特异性刚性推演（rigidity argument）”。这一解耦极大简化了新型条件生成模型的证明复杂度。
代数结构支配外推自由度：决定外推成败的根本因素并非原始输入属性空间是否连续或线性，而是潜属性势函数关于属性表征向量的线性依从关系。即便物理属性空间高度非线性或呈离散布尔拓扑，只要组合相互作用存在低阶阶梯截止，Möbius 逆演即能确保未见超图组合干预的精确外推。

亮点与洞察¶

提出属性势函数作为核心桥梁：将密度比对数 $\Delta_{a, a_0}(c)$ 作为核心泛函，直接消除了所有令人生畏的测度形变雅可比因子 $r_{\tau^{-1}}(c)$，将原本深奥的测度变换问题降维为初等代数与函数方程问题。
建立条件生成模型的统一语法：通过 $A \to \Lambda \to C \to X$ 的三级划分，清晰地将“环境与属性的外部控制（$A \to \Lambda$）”、“物理/统计生成的共享机理（$\Lambda \to C$）”与“高维非线性观测投影（$C \to X$）”正交解耦，为未来条件自监督与概念生成模型设计树立了规范。
为组合泛化提供了可判定性判据：通过仿射包与 Möbius 逆演给出了分布外推的几何充分必要条件，使研究者能够明确预判在给定的有限实验设计（如单节点干预）下，究竟能向外可靠外推到何种程度的高阶组合场景。

局限与展望¶

依赖公共支撑集（Common Support）假定：目前的定理体系严格依赖条件概念律在参考测度 $\nu$ 下具有公共正密度，无法直接覆盖确定性狄拉克干预（如确定性 do-干预 $do(C_i = c^*)$）或导致流形支撑集发生维度缩并的奇异分布场景。
缺乏有限样本泛化误差界分析：论文聚焦于渐进极限定理（经验分布等于真实总体分布时的可辨识性与外推完全性），未推导样本复杂度、经验估计器误差对势函数等式稳定性的摄动界。
未来方向：推广至测度相互奇异（singular measures）或部分重叠支撑集的因果干预环境；探索如何将属性势函数的守恒等式转化为自监督神经符号系统与概念瓶颈模型（CBMs）中的实际对比正则化损失。

评分¶

新颖性: ⭐⭐⭐⭐⭐ 首次构建了统一非线性ICA、因果表示学习与扰动外推的条件隐变量代数理论框架，概念与势函数工具设计极富创造力。
实验充分度: ⭐⭐⭐⭐☆ 作为纯理论论文，通过严密的代数重构成功复现还原了领域内近十年7个顶尖里程碑工作的核心定理，理论覆盖面极宽。
写作质量: ⭐⭐⭐⭐⭐ 逻辑结构严谨清晰，从马尔可夫核、代数势函数到各具体领域的映射字典条理井然，叙述行云流水。
价值: ⭐⭐⭐⭐⭐ 为表示学习的可辨识性与分布外推建立了坚固的理论基石，具有长远的基础理论指导价值。

模型设置 / 经典文献	属性 \(A\) 与调制器 \(\Lambda\)	潜概念调制核 \(\mathbf{B}(dc \mid \lambda)\)	CMM 属性势函数 \(\Delta_{a,a_0}(c)\)	还原的证明对象与最终可辨识性结论
Nonlinear ICA (Hyvarinen et al., 2019)	辅助变量 \(u\) \(\lambda_a = (q_i(\cdot, u))_{i=1}^k\)	\(\exp\{\sum_i \lambda_i(c_i) - \Gamma(\lambda)\}dc\)	\(\sum_i [q_i(c_i, a) - q_i(c_i, a_0)] - [\Gamma(a) - \Gamma(a_0)]\)	混合二阶偏导数系统 \(\partial_{c_j c_{j'}}^2 \Delta = 0\) \(\implies\) 置换与逐分量变换
iVAE (Khemakhem et al., 2020a)	条件变量 \(u\) \(\lambda_a = (f(u), T, Q)\)	\(\frac{Q(c)}{Z(\lambda)}\exp\{\langle \lambda, T(c)\rangle\}dc\)	\(\langle f(a) - f(a_0), T(c)\rangle - \log \frac{Z(a)}{Z(a_0)}\)	充分统计量仿射方程 \(T(\tau(c)) = M T'(c) + b\) \(\implies\) 仿射/分量可辨识性
Linear CRL (Squires et al., 2023)	单节点完美干预标签 \(k\) 结构矩阵行向量 \(B_k\)	\(\mathrm{Law}(B_k^{-1} \epsilon)(dc)\)	基于二阶矩协方差算子建立矩阵方程	伪精度阵 \(\Theta_k = H^\top B_k^\top B_k H\) \(\implies\) 因果拓扑偏序图匹配
Gaussian CRL (Buchholz et al., 2023)	干预环境 \(i \in I \cup \{0\}\) \(\lambda_i = (B^{(i)}, \eta^{(i)}, t_i)\)	高斯分布 \(\mathcal{N}((B^{(i)})^{-1}\eta^{(i)}e_{t_i}, (B^{(i)})^{-1}(B^{(i)})^{-\top})\)	\(-\frac{1}{2}c^\top(\Theta^{(i)} - \Theta^{(0)})c + \eta^{(i)}(r^{(i)})^\top c + \kappa^{(i)}\)	二次型转移等式 \(\implies\) 线性矩阵转换与图置换
Score-based CRL (Varıcı et al., 2025)	多环境干预 \(a \in \mathcal{E}\) 局部机制族 \((p_i^{\lambda_a})\)	\(\prod_{i=1}^n p_i^{\lambda_a}(c_i \mid c_{\mathrm{pa}(i)})dc\)	\(\sum_{i=1}^n [\log p_i^a - \log p_i^0]\)	梯度得分对照差分 \(\nabla_c \Delta_{a_i, \tilde{a}_i}\) 呈单稀疏性 \(\implies\) 局部因果图同构
Nonparametric CRL (von Kügelgen et al., 2023)	配对完美干预 \(e \in \mathcal{E}\) 局部非参数条件机制	\(\prod_{j=1}^n p_j^{\lambda_e}(c_j \mid c_{\mathrm{pa}(j)})dc\)	机制密度比 \(R_{e,e'} = \exp\{\Delta_{e,e'}\} = \rho_i^{e,e'}(c_i)\)	一维密度比方程 \(\rho'_{\pi(i)}(z_{\pi(i)}) = \rho_i(\tau_i(z))\) \(\implies\) 逐分量微分同胚匹配
Perturbation Model (von Kügelgen et al., 2025)	扰动向量 \(a \in \mathbb{R}^K\) 潜均值位移 \(W(a - a_0)\)	各向同性高斯 \(\mathcal{N}(\lambda, I_k)(dc)\)	\(\langle a - a_0, W^\top(c - c_0)\rangle\) (中心化势函数)	正交刚性旋转与均值位移延拓 \(\implies\) 正交等价及向外推空间延拓

属性空间结构假设	观测属性集 \(\mathcal{A}_{\textnormal{o}}\) 设定	潜密度相互作用阶数假设	可外推属性集合 \(\mathcal{A}_{\textnormal{ex}}\)	理论保障与失配说明
完全向下闭合族 (Downward-closed family \(\mathcal{H}\))	包含 \(\varnothing\) 且满足下闭性质的有限子集族 \(\mathcal{H}\)	任意局限于 \(\mathcal{H}\) 内的相互作用：\(p(c \mid S) \propto \exp\{\sum_{T \in \mathcal{H}, T \subseteq S} h_T(c)\}\)	全幂集 \(2^{[m]}\) (包含全部未见超高阶多节点组合干预)	完全外推成立：利用偏序集的 Möbius 反演，\(\varphi_\mathcal{H}(S)\) 必在 \(\varphi_\mathcal{H}(\mathcal{H})\) 仿射包内
秩亏缺观测属性集 (\(\mathrm{span}\{f(a)-f(a_0)\} = V \subsetneq \mathbb{R}^k\))	仅观测到张成真子空间 \(V\) 的有限属性集合	指数族线性调制 \(f(a) = W_f \varphi(a)\)	仅限于 \(\varphi(a_{\textnormal{ex}}) - \varphi(a_0) \in V\) 的受限子空间	部分可辨识与有界外推：仅在子空间内保持仿射辨识性，超出张成空间的外推出现欠定任意性
非约束非参数索引映射 (任意无约束映射 \(f: \mathcal{A} \to \mathbb{R}^k\))	任意密集观测集 \(\mathcal{A}_{\textnormal{o}} \subset \mathcal{A}\)	无全局参数约束的指数族条件先验	仅退化为原观测集 \(\mathcal{A}_{\textnormal{o}}\)，外推集为空	外推完全失效：未见属性处的 \(f(a_{\textnormal{ex}})\) 可任意取值而不影响已观测条件分布